微积分学示例

$y = x^{2} - 1$ , $y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$

解题步骤 1.2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.2.2

去掉圆括号。

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2} + 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.3

将 $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ 中的每一项乘以 $x^{2} + 1$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

将 $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ 中的每一项乘以 $x^{2} + 1$ 。

$x^{2} (x^{2} + 1) = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.1

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.1.1

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.1.1.1

约去公因数。

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3.3.1.1.2

重写表达式。

$x^{4} + x^{2} = 3 + 1 (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3.3.1.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} = 3 + x^{2} + 1$

解题步骤 1.2.3.3.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + x^{2} = x^{2} + 4$

解题步骤 1.2.4

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$x^{4} + x^{2} - x^{2} = 4$

解题步骤 1.2.4.1.2

合并 $x^{4} + x^{2} - x^{2}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 0 = 4$

解题步骤 1.2.4.1.2.2

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} = 4$

解题步骤 1.2.4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{4}$

解题步骤 1.2.4.3

化简 $\pm \sqrt[4]{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

解题步骤 1.2.4.3.2

将 $\sqrt[4]{2^{2}}$ 重写为 $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ 。

$x = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 1.3

当 $x = \sqrt{2}$ 时计算 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

代入 $\sqrt{2}$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $\sqrt{2}$ 代入 $y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $\frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{3}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{3}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.2.1.1.4.1

约去公因数。

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.4.2

重写表达式。

$y = \frac{3}{2^{1} + 1}$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.5

计算指数。

$y = \frac{3}{2 + 1}$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{3}{3}$

解题步骤 1.3.2.2.2

用 $3$ 除以 $3$ 。

$y = 1$

解题步骤 1.4

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} - 1 d x$

解题步骤 3

用积分求 $- \sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 之间的面积。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 3.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - - 1$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1 d x$

解题步骤 3.3

要将 $- x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

解题步骤 3.4

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

组合 $- x^{2}$ 和 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{3}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

解题步骤 3.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1 d x$

解题步骤 3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{3 - x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

解题步骤 3.5.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 - (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

解题步骤 3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 - x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

解题步骤 3.5.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 - x^{4} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

解题步骤 3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - x^{4} - x^{2}}{x^{2} + 1} + 1$

解题步骤 3.5.4

重新排序项。

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1 d x$

解题步骤 3.6

合并为一个分式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{- x^{4} + 0 + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.7.2

将 $- x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- x^{4} + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.7.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.7.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- x^{4} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.7.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{- {(x^{2})}^{2} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.7.6

将 $- {(x^{2})}^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$\frac{2^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.7.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x^{2}$ 。

$\frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.8

运用分配律。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 (2 - x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.9

运用分配律。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.10

运用分配律。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.11.1

将 $x^{2}$ 和 $2$ 重新排序。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.11.2

将 $x^{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.11.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.11.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.12

提取负因数。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - (x^{2} x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2 + 2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.14

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.15

将 $- 2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 0 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.16

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.16.1

从 $0$ 中减去 $x^{4}$ 。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.16.2

将 $4$ 和 $- x^{4}$ 重新排序。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.17

用 $- x^{4} + 4$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.17.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 3.17.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 3.17.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

解题步骤 3.17.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{4} + 0 - x^{2}$ 中的所有符号

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

解题步骤 3.17.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

解题步骤 3.17.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 3.17.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 3.17.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

解题步骤 3.17.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 1$ 中的所有符号

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

解题步骤 3.17.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

$3$

解题步骤 3.17.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} + 1 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.18

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.19

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.20

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.21

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.22

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.23

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3.24

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.24.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.24.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 3.25

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 3.26

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.26.1

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.26.1.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $\sqrt{2}$ 处和在 $- \sqrt{2}$ 处的值。

$- ((\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 3.26.1.2

计算 $x$ 在 $\sqrt{2}$ 处和在 $- \sqrt{2}$ 处的值。

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 3.26.1.3

计算 $\arctan (x)$ 在 $\sqrt{2}$ 处和在 $- \sqrt{2}$ 处的值。

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.26.1.4.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$- (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.3

从 $- \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.4

对 $- (\sqrt{2})$ 运用乘积法则。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.8

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.10

将 $\frac{\sqrt{8}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.11

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.12

将 $\sqrt{8}$ 和 $\sqrt{8}$ 相加。

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.13

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 2 \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

解题步骤 3.26.1.4.14

要将 $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot \frac{3}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.1.4.15

组合 $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.1.4.16

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.1.4.17

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.26.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.26.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{4 (2)} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.2.2

从根式下提出各项。

$\frac{- 2 (2 \sqrt{2}) + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.26.3.1

计算 $\arctan (- \sqrt{2})$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - - 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.95531661$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.3.3

计算 $\arctan (\sqrt{2})$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (0.95531661 + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.3.4

将 $0.95531661$ 和 $0.95531661$ 相加。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 \cdot 1.91063323}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.3.5

将 $9$ 乘以 $1.91063323$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 17.19569912}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.3.6

将 $- 4 \sqrt{2}$ 和 $17.19569912$ 相加。

$\frac{11.53884487}{3} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.3.7

用 $11.53884487$ 除以 $3$ 。

$3.84628162 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 3.26.3.8

将 $3.84628162$ 和 $2 \sqrt{2}$ 相加。

$6.67470875$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例