微积分学示例

$y = \cos (5 x^{2} - x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (5 x^{2} - x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x^{2} - x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} - x$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

解题步骤 3.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $5 x^{2} - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (5 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $5 x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$- \sin (5 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

微积分学 示例

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