微积分学示例

$x^{2 y}$

解题步骤 1

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x$ 及 $g = 2 y$ 。

$\frac{d}{d y} [x] (2 y x^{2 y - 1}) + \frac{d}{d y} [2 y] (x^{2 y} \ln (x))$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 (2 y x^{2 y - 1}) + \frac{d}{d y} [2 y] (x^{2 y} \ln (x))$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 (y x^{2 y - 1}) + \frac{d}{d y} [2 y] (x^{2 y} \ln (x))$

解题步骤 2.2.2

将 $y$ 乘以 $0$ 。

$0 x^{2 y - 1} + \frac{d}{d y} [2 y] (x^{2 y} \ln (x))$

解题步骤 2.2.3

将 $0$ 乘以 $x^{2 y - 1}$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [2 y] (x^{2 y} \ln (x))$

解题步骤 2.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [2 y] (x^{2 y} \ln (x))$ 相加。

$\frac{d}{d y} [2 y] (x^{2 y} \ln (x))$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y] (x^{2 y} \ln (x))$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 (x^{2 y} \ln (x))$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2 y} \ln (x)$

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