微积分学示例

$f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ , $θ = 0$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = 0$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

解题步骤 3

计算 $f (0)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $θ$ 。

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{3})$

解题步骤 3.2

化简 $\sin ((0) + \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$\sin ((0) + \frac{π}{3})$

解题步骤 3.2.2

将 $0$ 和 $\frac{π}{3}$ 相加。

$\sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 3.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $0$ 处的值。

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解题步骤 4.1

求 $f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ 的导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \sin (θ)$ 且 $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $θ + \frac{π}{3}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

解题步骤 4.1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $θ + \frac{π}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $θ + \frac{π}{3}$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ 。

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $\frac{π}{3}$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $\frac{π}{3}$ 对 $θ$ 的导数为 $0$ 。

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $\cos (θ + \frac{π}{3})$ 乘以 $1$ 。

$\cos (θ + \frac{π}{3})$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $θ$ 。

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $0$ 和 $\frac{π}{3}$ 相加。

$\cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - 0)$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

从 $x$ 中减去 $0$ 。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2}$

解题步骤 7

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