微积分学示例

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to - 3} \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.1.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.1.5

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \sin (2 \cdot - 3 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 \sin (- 6 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{3 \sin (0)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.2.3.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + lim_{x \to - 3} x}$

解题步骤 1.3.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 + lim_{x \to - 3} x}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 - 3}$

解题步骤 1.3.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (2 x + 6)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 6$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 6$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.3.3

使用 $2 x + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.4

去掉圆括号。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $2 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.9

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

解题步骤 3.12

根据加法法则， $3 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.13

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + 1}$

解题步骤 3.15

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{1}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

用 $6 \cos (2 x + 6)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} 6 \cos (2 x + 6)$

解题步骤 4.2

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 lim_{x \to - 3} \cos (2 x + 6)$

解题步骤 4.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)$

解题步骤 4.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)$

解题步骤 4.6

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + 6)$

解题步骤 5

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \cos (2 \cdot - 3 + 6)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$6 \cos (- 6 + 6)$

解题步骤 6.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$6 \cos (0)$

解题步骤 6.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 6.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

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