微积分学示例

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $y^{3} - 2 y^{2} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.1.2

从 $- 2 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.1.3

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.1.4

从 $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.1.5

从 $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

解题步骤 2

用 $y^{2} - 2 y - 1$ 除以 $y$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} + 0$ 中的所有符号

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

解题步骤 2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

解题步骤 2.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

解题步骤 2.8

将新的商式项乘以除数。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

解题步骤 2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 y + 0$ 中的所有符号

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

解题步骤 2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

解题步骤 2.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

解题步骤 7

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ 和 $- 2 y]_{1}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

解题步骤 8.2.2

计算 $\ln (| y |)$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.4

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.5

组合 $- 6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.7

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.7.1

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.7.2

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.9

一的任意次幂都为一。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.11

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.12

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.13

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.14

在公分母上合并分子。

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.15

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.15.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.15.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.17

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.18

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.19

将 $- \frac{3}{2}$ 和 $\frac{3}{2}$ 相加。

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.2.3.20

从 $0$ 中减去 $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ 。

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

解题步骤 8.4.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- \ln (\frac{3}{1})$

解题步骤 8.4.3

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- \ln (3)$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \ln (3)$

小数形式：

$- 1.09861228 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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