微积分学示例

$\frac{x}{\ln (x)}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.4

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x$ 。

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.4.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x) - 1$ 且 $g (x) = \ln^{2} (x)$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用求加法法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将 ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{\ln (x)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $\ln (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{1}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.4.2.2

组合 $\ln^{2} (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.6

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

合并。

$\frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.6.3

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.3.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.6.3.2

重写表达式。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.7.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.9

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{1}{x}))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.10

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.10.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.10.2

组合 $\frac{\ln (x)}{x}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.10.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.10.3.1

将 $- 2$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.10.3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{2 \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.10.4

组合 $x$ 和 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.10.5

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.10.5.1

约去公因数。

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.10.5.2

用 $2 \ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - (2 \ln (x)) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.10.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.11.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.11.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.11.2.3

乘以 $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.11.2.3.2

将 $\ln (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2.11.3

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

微积分学 示例

微积分学示例