微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{4} x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{- 6}{4}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{- 6}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.7

约去 $- 6$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.7.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.2.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3.4

组合 $\frac{4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.3.5.2.4

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - (3 x^{2})$

解题步骤 1.4.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$

解题步骤 1.5

重新排序项。

$f' (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 2.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.4.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.4.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.4.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.4.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 2.4.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 2.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 2.4.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 2.4.8

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4}$

解题步骤 2.4.9

组合 $3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4}$

解题步骤 2.4.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} x^{- 4}$

解题步骤 2.4.11

组合 $\frac{9}{2}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9 x^{- 4}}{2}$

解题步骤 2.4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

因为 $\frac{9}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9}{2 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.4.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

解题步骤 3.4.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

解题步骤 3.4.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

解题步骤 3.4.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

解题步骤 3.4.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

解题步骤 3.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

解题步骤 3.4.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 3.4.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$12 x - 6 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

解题步骤 3.4.9

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

解题步骤 3.4.10

组合 $\frac{- 36}{2}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$12 x - 6 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

解题步骤 3.4.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

解题步骤 3.4.12

约去 $- 36$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.12.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

解题步骤 3.4.12.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.12.2.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

解题步骤 3.4.12.2.2

约去公因数。

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

解题步骤 3.4.12.2.3

重写表达式。

$12 x - 6 + \frac{- 18}{x^{5}}$

解题步骤 3.4.13

将负号移到分数的前面。

$12 x - 6 - \frac{18}{x^{5}}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$f''' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

解题步骤 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$ 。

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

微积分学 示例

微积分学示例