微积分学示例

$y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2} = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.4.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.4.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 (2 x)$

解题步骤 2.5.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 10 x$

解题步骤 2.6

重新排序项。

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y'$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $10 x$ 。

$3 y^{2} y' - 4 y y' + y' = - 10 x$

解题步骤 5.2

从 $3 y^{2} y' - 4 y y' + y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) - 4 y y' + y' = - 10 x$

解题步骤 5.2.2

从 $- 4 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

解题步骤 5.2.3

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

解题步骤 5.2.4

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

解题步骤 5.2.5

从 $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

解题步骤 5.2.6

从 $y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

解题步骤 5.3

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 并且它们的和为 $b = - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1.1

从 $- 4 y$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

解题步骤 5.3.1.1.2

把 $- 4$ 重写为 $- 1$ 加 $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 10 x$

解题步骤 5.3.1.1.3

运用分配律。

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 10 x$

解题步骤 5.3.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 10 x$

解题步骤 5.3.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 10 x$

解题步骤 5.3.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 y - 1$ 来因式分解多项式。

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 10 x$

解题步骤 5.3.2

去掉多余的括号。

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$

解题步骤 5.4

将 $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ 中的每一项除以 $(3 y - 1) (y - 1)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ 中的每一项都除以 $(3 y - 1) (y - 1)$ 。

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

约去 $3 y - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $y - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例