微积分学示例

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $π$ 移到积分外。

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

解题步骤 2

使 $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ 。然后使 $d u = - \frac{4}{5} d x$ ，以便 $- \frac{5}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{20 - 4 x}{5}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

解题步骤 2.1.2

从 $20 - 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

解题步骤 2.1.2.3

从 $4 (5) + 4 (- x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

解题步骤 2.1.3

因为 $\frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 (5 - x)}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ 。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

解题步骤 2.1.4

根据加法法则， $5 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.1.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.9

合并分数。

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解题步骤 2.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

解题步骤 2.1.9.2

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

解题步骤 2.1.9.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.9.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4}{5}$

解题步骤 2.1.9.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{5}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

约去 $20 - 4 \cdot 0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $20$ 重写为 $- 1 (- 20)$ 。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

解题步骤 2.3.1.2

从 $- 4 \cdot 0$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

解题步骤 2.3.1.3

从 $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

解题步骤 2.3.1.4

重新排序项。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

解题步骤 2.3.1.5

从 $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ 中分解出因数 $5$ 。

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

解题步骤 2.3.1.6

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1.6.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

解题步骤 2.3.1.6.2

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.6.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

解题步骤 2.3.1.6.4

用 $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ 除以 $1$ 。

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

解题步骤 2.3.2

将 $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ 重写为 $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ 。

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

解题步骤 2.3.3

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

解题步骤 2.3.4

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = - - 4$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

约去 $20 - 4 \cdot 5$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1

将 $20$ 重写为 $- 1 (- 20)$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

解题步骤 2.5.1.2

从 $- 4 \cdot 5$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

解题步骤 2.5.1.4

重新排序项。

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

解题步骤 2.5.1.5

从 $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ 中分解出因数 $5$ 。

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

解题步骤 2.5.1.6

约去公因数。

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解题步骤 2.5.1.6.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

解题步骤 2.5.1.6.2

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.6.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

解题步骤 2.5.1.6.4

用 $- 1 (4 - 4)$ 除以 $1$ 。

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

解题步骤 2.5.2

将 $- 1 (4 - 4)$ 重写为 $- (4 - 4)$ 。

$u_{upper} = - (4 - 4)$

解题步骤 2.5.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$u_{upper} = - 0$

解题步骤 2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

解题步骤 3.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{4}{5}$ 。

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

解题步骤 3.3

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $1$ 。

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{5}{4}$ 和 $u^{2}$ 。

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

解题步骤 5

由于 $\frac{5}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{4}$ 移到积分外。

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $π$ 和 $\frac{5}{4}$ 。

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

解题步骤 6.2

将 $5$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $0$ 处和在 $4$ 处的值。

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

解题步骤 8.2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

解题步骤 8.2.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

解题步骤 8.2.4

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 8.2.5

组合 $- 64$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

解题步骤 8.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

解题步骤 8.2.7

从 $0$ 中减去 $\frac{64}{3}$ 。

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

解题步骤 8.2.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

解题步骤 8.2.9

将 $\frac{5 π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

解题步骤 8.2.10

将 $\frac{5 π}{4}$ 乘以 $\frac{64}{3}$ 。

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

解题步骤 8.2.11

将 $64$ 乘以 $5$ 。

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

解题步骤 8.2.12

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{320 π}{12}$

解题步骤 8.2.13

约去 $320$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.13.1

从 $320 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (80 π)}{12}$

解题步骤 8.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.13.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

解题步骤 8.2.13.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

解题步骤 8.2.13.2.3

重写表达式。

$\frac{80 π}{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{80 π}{3}$

小数形式：

$83.77580409 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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