微积分学示例

$\int \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

解题步骤 3

展开 ${(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1

使用二项式定理。

$\int ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.2

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.3

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.4

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.5

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.6

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.7

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - - - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.8

运用分配律。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1)) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.9

运用分配律。

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1) x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.10

运用分配律。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) x^{- 2} + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.11

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.12

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.13

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.14

移动括号。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 + 2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.16

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{4} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.18

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{6} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{6 - 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.20

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.21

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4} - 3 x^{2 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.23

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{4} - 3 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4} - 3 x^{4 - 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.25

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.26

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.27

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.28

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2 - 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.29

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{0} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.30

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot 1 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.31

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.32

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 + 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.33

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.34

移动 $3$ 。

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 1 x^{- 2} + 3 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

解题步骤 6

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

解题步骤 11.2

化简。

$\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

微积分学 示例

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