微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.3

将极限移入指数中。

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2.1.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.3.2

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.3.5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.3.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - 0^{3}}$

解题步骤 1.3.7

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.7.1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{\ln (1) - 0^{3}}$

解题步骤 1.3.7.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 0^{3}}$

解题步骤 1.3.7.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 0}$

解题步骤 1.3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $3 e^{x} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

解题步骤 3.5

将 $3 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $\ln (1 - x) - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.1.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.7

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.8

组合 $\frac{1}{1 - x}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7.9

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - (3 x^{2})}$

解题步骤 3.8.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2}}$

解题步骤 3.9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.1

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.1.1

要将 $- 3 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}$

解题步骤 3.9.1.2

组合 $- 3 x^{2}$ 和 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{- 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

解题步骤 3.9.1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1 - 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

解题步骤 3.9.2

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}{- x + 1}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} 3 e^{x} \frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

解题步骤 5

合并因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

组合 $\frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ 和 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1} e^{x}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ 和 $e^{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3 e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

解题步骤 6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$3 \frac{lim_{x \to 0} (- x + 1) e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$3 \frac{lim_{x \to 0} - x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

解题步骤 11

将极限移入指数中。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 13

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 14

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 15

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 16

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 17

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 18

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 19

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 19.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 19.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 19.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 20

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{1 e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 20.1.2

将 $e^{0}$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 20.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 20.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 20.2.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$3 \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 20.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 20.2.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 20.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1}{0 - 1}$

解题步骤 20.2.6

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$3 (\frac{1}{- 1})$

解题步骤 20.3

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$3 \cdot - 1$

解题步骤 20.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3$

微积分学 示例

微积分学示例