微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{4} - 8 x + x + 2}{4 x^{4} - 5 x^{2} - 2}$

解题步骤 1

将 $- 8 x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{4} - 7 x + 2}{4 x^{4} - 5 x^{2} - 2}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.2

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x \cdot x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x \cdot x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{- 7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $- 5 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{- 5}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 - \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2.4

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 3.6

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 - 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{4}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 7.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 7.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

解题步骤 9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{4}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 + 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 + 0 + 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.1.3

将 $2 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 + 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{4 + 0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{4 + 0 + 0}$

解题步骤 11.2.3

将 $4 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{4 + 0}$

解题步骤 11.2.4

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{4}$

解题步骤 11.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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