微积分学示例

$\int 5 x^{6} \ln (2 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (2 x)$ ， $d v = 5 x^{6}$ 。

$\ln (2 x) (\frac{5}{7} x^{7}) - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{5}{7}$ 和 $x^{7}$ 。

$\ln (2 x) \frac{5 x^{7}}{7} - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (2 x)$ 和 $\frac{5 x^{7}}{7}$ 。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{5}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{5}{7}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int x^{7} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{7}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x^{7}}{x} d x)$

解题步骤 4.2

约去 $x^{7}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{7}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x} d x)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} d x)$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x^{6}}{1} d x)$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x^{6}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int x^{6} d x)$

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} \int x^{6} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} (\frac{1}{7} x^{7} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} (\frac{1}{7} x^{7} + C)$ 重写为 $\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$ 。

$\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{5}{7}$ 和 $\ln (2 x)$ 。

$\frac{5 \ln (2 x)}{7} x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{5 \ln (2 x)}{7}$ 和 $x^{7}$ 。

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

解题步骤 6.2.3

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{5}{7}$ 。

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{7 \cdot 7} x^{7} + C$

解题步骤 6.2.4

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{49} x^{7} + C$

$\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{49} x^{7} + C$

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