微积分学示例

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\frac{1}{x^{2}}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x^{2}}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $\ln (x)$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

解题步骤 3.5

合并因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

解题步骤 3.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

解题步骤 3.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 6.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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