微积分学示例

$\int \frac{x - 2}{2 x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{x - 2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int (x - 2) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int (x - 2) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int (x - 2) x^{- 2} d x$

解题步骤 3

乘以 $(x - 2) x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2} \int x \cdot x^{- 2} - 2 x^{- 2} d x$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int x^{1} x^{- 2} - 2 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int x^{1 - 2} - 2 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int x^{- 1} - 2 x^{- 2} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x)$

解题步骤 6

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C + \int - 2 x^{- 2} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C - 2 \int x^{- 2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C - 2 (- x^{- 1} + C))$

解题步骤 9

化简。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + \frac{2}{x}) + C$

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