微积分学示例

${(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 且 $g (x) = {(x + 5)}^{3}$ 。

${(4 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + 5$ 。

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(4 x^{2} - 3)}^{2} (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 移到 ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 的左侧。

$3 \cdot {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5] + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (1 + 0) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \cdot 1 + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 4 x^{2} - 3$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x^{2} - 3$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

解题步骤 4.3

使用 $4 x^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + {(x + 5)}^{3} (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 移到 ${(x + 5)}^{3}$ 的左侧。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 \cdot {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $4 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 5.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 5.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 5.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x + 0)$

解题步骤 5.7

化简表达式。

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解题步骤 5.7.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) (8 x)$

解题步骤 5.7.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

从 $3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$ 中分解出因数 $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $3 {(4 x^{2} - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ 中分解出因数 $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ 。

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + 16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$

解题步骤 6.1.2

从 $16 {(x + 5)}^{3} (4 x^{2} - 3) x$ 中分解出因数 $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ 。

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + (4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (16 (x + 5) x)$

解题步骤 6.1.3

从 $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3)) + (4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (16 (x + 5) x)$ 中分解出因数 $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2}$ 。

$(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x)$

解题步骤 6.2

重新排序 $(4 x^{2} - 3) {(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x)$ 的因式。

${(x + 5)}^{2} (3 (4 x^{2} - 3) + 16 (x + 5) x) (4 x^{2} - 3)$

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