微积分学示例

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 1.3

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $0.5$ 。

$u_{upper} = 1 - 0.5$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $0.5$ 。

$u_{upper} = 0.5$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

解题步骤 2

乘以 $- (- u + 1) u^{3}$ 。

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

解题步骤 3.2

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $u$ 乘以 $u^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

解题步骤 3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

解题步骤 3.3.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

解题步骤 3.5

将 $- 1 u^{3}$ 重写为 $- u^{3}$ 。

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{1}{5} u^{5}$ 在 $0.5$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{u^{4}}{4}$ 在 $0.5$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $0.5$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $0.03125$ 。

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3.6

从 $0.03125$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3.8

对 $0.5$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 9.3.9

一的任意次幂都为一。

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

解题步骤 9.3.10

在公分母上合并分子。

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

解题步骤 9.3.11

从 $0.0625$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

解题步骤 9.3.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

解题步骤 9.3.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

解题步骤 9.3.14

将 $\frac{0.9375}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

解题步骤 9.3.15

要将 $- \frac{0.96875}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

解题步骤 9.3.16

要将 $\frac{0.9375}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 9.3.17

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $20$ 的形式。

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解题步骤 9.3.17.1

将 $\frac{0.96875}{5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 9.3.17.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 9.3.17.3

将 $\frac{0.9375}{4}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

解题步骤 9.3.17.4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

解题步骤 9.3.18

在公分母上合并分子。

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

解题步骤 9.3.19

将 $- 0.96875$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

解题步骤 9.3.20

将 $0.9375$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

解题步骤 9.3.21

将 $- 3.875$ 和 $4.6875$ 相加。

$\frac{0.8125}{20}$

解题步骤 10

用 $0.8125$ 除以 $20$ 。

$0.040625$

解题步骤 11

微积分学 示例

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