微积分学示例

$f (x) = x^{3} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{3} - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{3} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 7.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 7.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 7.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{1}{4} x^{4} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = x^{3} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

微积分学 示例

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