微积分学示例

$\int 3 e^{3 - 7 x} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int e^{3 - 7 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 - 7 x$ 。然后使 $d u = - 7 d x$ ，以便 $- \frac{1}{7} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 - 7 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 - 7 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $3 - 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 7 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$0 - 7$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$- 7$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$3 \int e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$3 \int - \frac{e^{u}}{7} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{7} \int e^{u} d u$

解题步骤 7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{7} \int e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{3}{7} (e^{u} + C)$

解题步骤 9

化简。

$- \frac{3}{7} e^{u} + C$

解题步骤 10

使用 $3 - 7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{3}{7} e^{3 - 7 x} + C$

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