微积分学示例

$\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$ 。

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解题步骤 1.1

因式分解出 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{3} x^{2}}}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \cdot x^{\frac{2}{3}})}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x^{1} x^{\frac{2}{3}})}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{1 + \frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

解题步骤 3.4

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}]$

解题步骤 4

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 5.2.2

乘以 $\frac{5}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

解题步骤 5.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{3}}]$

解题步骤 5.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{3}}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{5}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

解题步骤 10.2

从 $- 5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

解题步骤 12

组合 $x^{- \frac{8}{3}}$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

解题步骤 13

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 3}$

解题步骤 14

化简表达式。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{6}$

解题步骤 14.2

将 $5$ 移到 $x^{- \frac{8}{3}}$ 的左侧。

$- \frac{5 \cdot x^{- \frac{8}{3}}}{6}$

解题步骤 14.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{8}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{5}{6 x^{\frac{8}{3}}}$

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