微积分学示例

$\frac{1}{x^{3}} + 2$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x^{3}} + 2$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x^{3}} + 2$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3}} + 2 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 2 d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 2 d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 2 d x$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{- 3} d x + \int 2 d x$

$\int x^{- 3} d x + \int 2 d x$

$\int x^{- 3} d x + \int 2 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 2 d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 2 x + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + 2 x + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + 2 x + C$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C$

$- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C$

$- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x^{3}} + 2$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$