微积分学示例

$y = \cos (x^{2}) \cdot \sin (x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x^{2})$ 且 $g (x) = \sin (x^{2})$ 。

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 3

对 $\cos (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 4

对 $\cos (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8

对 $\sin (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - (\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 9

对 $\sin (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - (\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - 2 \sin^{2} (x^{2}) x$

解题步骤 13.2

重新排序项。

$2 x \cos^{2} (x^{2}) - 2 x \sin^{2} (x^{2})$

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