微积分学示例

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

解题步骤 4

使 $u = 2 + \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 2 + \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 + \sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $2 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 + \cos (x)$

解题步骤 4.1.4

将 $0$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\cos (x)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1} + C$

解题步骤 7

将 $- u^{- 1} + C$ 重写为 $- \frac{1}{u} + C$ 。

$- \frac{1}{u} + C$

解题步骤 8

使用 $2 + \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

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