微积分学示例

$y = {(2 x + 3)}^{- 3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = 2 x + 3$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 3$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 1.3

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 + 0)$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} \cdot 2$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 {(2 x + 3)}^{- 4}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 6 \frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$ 。

$\frac{- 6}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6}{{(2 x + 3)}^{4}}$

微积分学 示例

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