微积分学示例

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

解题步骤 2

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.2

将 ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.3

将 $\cos^{6} (t)$ 重写为 ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

解题步骤 3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 3.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $\cos^{3} (t)$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 转换成 $\sec^{2} (t)$ 。

$\int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$\tan (t) + C$

解题步骤 6

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\tan (\arcsin (x)) + C$

微积分学 示例

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