微积分学示例

$\int 3 x {(2 x - 1)}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x {(2 x - 1)}^{2} d x$

解题步骤 2

使 $u = 2 x - 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$3 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

解题步骤 4.2

将 $\frac{u}{2}$ 乘以 $\frac{u^{2}}{2}$ 。

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

解题步骤 4.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

解题步骤 4.7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{u^{2}}{2}$ 。

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

解题步骤 4.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{4} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$3 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$3 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} \int u^{2} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

解题步骤 11.2

化简。

$3 (\frac{u^{4}}{16} + \frac{u^{3}}{12}) + C$

解题步骤 12

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\frac{{(2 x - 1)}^{4}}{16} + \frac{{(2 x - 1)}^{3}}{12}) + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$3 (\frac{1}{16} {(2 x - 1)}^{4} + \frac{1}{12} {(2 x - 1)}^{3}) + C$

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