微积分学示例

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 (2 x)$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x + 4$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 (2 x)$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2}) + 3 x^{2} + 4 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2}) - x (- 3 x) + 4 x = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $4 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2}) - x (- 3 x) - x \cdot - 4 = 0$

解题步骤 5.2.4

从 $- x (4 x^{2}) - x (- 3 x)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2} - 3 x) - x \cdot - 4 = 0$

解题步骤 5.2.5

从 $- x (4 x^{2} - 3 x) - x (- 4)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2} - 3 x - 4) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$4 x^{2} - 3 x - 4 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $4 x^{2} - 3 x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $4 x^{2} - 3 x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} - 3 x - 4 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

将 $9$ 和 $64$ 相加。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

将 $9$ 和 $64$ 相加。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

将 $9$ 和 $64$ 相加。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}, \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $- x (4 x^{2} - 3 x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{73}}{8}, \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{73}}{8}, \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(0)}^{2} + 6 (0) + 4$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 12 \cdot 0 + 6 (0) + 4$

解题步骤 9.1.2

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 6 (0) + 4$

解题步骤 9.1.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 4$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 4$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - {(0)}^{4} + {(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - 0 + {(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 2 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 2 \cdot 0$

解题步骤 11.2.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 运用乘积法则。

$- 12 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{8^{2}} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{64} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.3.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 3) \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{64} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.3.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot - 3 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.3.3

约去公因数。

$4 \cdot - 3 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.3.4

重写表达式。

$- 3 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{- 3 {(3 + \sqrt{73})}^{2}}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.5

将 ${(3 + \sqrt{73})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})$ 。

$\frac{- 3 ((3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})$ 。

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解题步骤 13.1.6.1

运用分配律。

$\frac{- 3 (3 (3 + \sqrt{73}) + \sqrt{73} (3 + \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.6.2

运用分配律。

$\frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} (3 + \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.6.3

运用分配律。

$\frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \cdot 3 + \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.7.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \cdot 3 + \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.7.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{73}$ 的左侧。

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \cdot \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.7.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73 \cdot 73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.7.1.4

将 $73$ 乘以 $73$ 。

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{5329})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.7.1.5

将 $5329$ 重写为 $73^{2}$ 。

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73^{2}})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.7.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + 73)}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.7.2

将 $9$ 和 $73$ 相加。

$\frac{- 3 (82 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.7.3

将 $3 \sqrt{73}$ 和 $3 \sqrt{73}$ 相加。

$\frac{- 3 (82 + 6 \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.8

约去 $82 + 6 \sqrt{73}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.8.1

从 $- 3 (82 + 6 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 (41 + 3 \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.8.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 (41 + 3 \sqrt{73}))}{2 (8)} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 3 (41 + 3 \sqrt{73}))}{2 \cdot 8} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 13.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.10.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 2 (3) \frac{3 + \sqrt{73}}{8} + 4$

解题步骤 13.1.10.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{3 + \sqrt{73}}{2 \cdot 4} + 4$

解题步骤 13.1.10.3

约去公因数。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{3 + \sqrt{73}}{2 \cdot 4} + 4$

解题步骤 13.1.10.4

重写表达式。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 3 \frac{3 + \sqrt{73}}{4} + 4$

解题步骤 13.1.11

组合 $3$ 和 $\frac{3 + \sqrt{73}}{4}$ 。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73})}{4} + 4$

解题步骤 13.2

求公分母。

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解题步骤 13.2.1

将 $\frac{3 (3 + \sqrt{73})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73})}{4} \cdot \frac{2}{2} + 4$

解题步骤 13.2.2

将 $\frac{3 (3 + \sqrt{73})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 4$

解题步骤 13.2.3

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

解题步骤 13.2.4

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 13.2.5

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 (41 + 3 \sqrt{73}) + 3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4

化简每一项。

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解题步骤 13.4.1

运用分配律。

$\frac{- 3 \cdot 41 - 3 (3 \sqrt{73}) + 3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.2

将 $- 3$ 乘以 $41$ 。

$\frac{- 123 - 3 (3 \sqrt{73}) + 3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.4

运用分配律。

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + (9 + 3 \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.6

运用分配律。

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 9 \cdot 2 + 3 \sqrt{73} \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.7

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 18 + 3 \sqrt{73} \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 18 + 6 \sqrt{73} + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.9

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 18 + 6 \sqrt{73} + 32}{8}$

解题步骤 13.5

化简项。

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解题步骤 13.5.1

将 $- 123$ 和 $18$ 相加。

$\frac{- 105 - 9 \sqrt{73} + 6 \sqrt{73} + 32}{8}$

解题步骤 13.5.2

将 $- 105$ 和 $32$ 相加。

$\frac{- 73 - 9 \sqrt{73} + 6 \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 13.5.3

将 $- 9 \sqrt{73}$ 和 $6 \sqrt{73}$ 相加。

$\frac{- 73 - 3 \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 13.5.4

将 $- 73$ 重写为 $- 1 (73)$ 。

$\frac{- 1 (73) - 3 \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 13.5.5

从 $- 3 \sqrt{73}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (73) - (3 \sqrt{73})}{8}$

解题步骤 13.5.6

从 $- 1 (73) - (3 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (73 + 3 \sqrt{73})}{8}$

解题步骤 13.5.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{73 + 3 \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{4} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{4}}{8^{4}} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.2

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{73}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.4.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{73}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 4 \cdot (27 \sqrt{73}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 6 \cdot (9 {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.5

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 {\sqrt{73}}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.6

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 重写为 $73$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73 + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.6.5

计算指数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73 + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.7

将 $54$ 乘以 $73$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.8

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 {\sqrt{73}}^{3} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.9

将 ${\sqrt{73}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{73^{3}}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 \sqrt{73^{3}} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.10

对 $73$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 \sqrt{389017} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.11

将 $389017$ 重写为 $73^{2} \cdot 73$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.11.1

从 $389017$ 中分解出因数 $5329$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 \sqrt{5329 (73)} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.11.2

将 $5329$ 重写为 $73^{2}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 \sqrt{73^{2} \cdot 73} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.12

从根式下提出各项。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (73 \sqrt{73}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.13

将 $73$ 乘以 $12$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.14

将 ${\sqrt{73}}^{4}$ 重写为 $73^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + {(73^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{4}{2}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{1}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{2}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4.15

对 $73$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 5329}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.5

将 $81$ 和 $3942$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{4023 + 108 \sqrt{73} + 876 \sqrt{73} + 5329}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6

将 $4023$ 和 $5329$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{9352 + 108 \sqrt{73} + 876 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.7

将 $108 \sqrt{73}$ 和 $876 \sqrt{73}$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{9352 + 984 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.8

约去 $9352 + 984 \sqrt{73}$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.1

从 $9352$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169) + 984 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.8.2

从 $984 \sqrt{73}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169) + 8 (123 \sqrt{73})}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.8.3

从 $8 (1169) + 8 (123 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 + 123 \sqrt{73})}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.4.1

从 $4096$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 + 123 \sqrt{73})}{8 \cdot 512} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.8.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 + 123 \sqrt{73})}{8 \cdot 512} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.8.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.9

对 $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{3}}{8^{3}} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.10

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.11

使用二项式定理。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.12.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.12.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.12.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3^{1 + 2} \sqrt{73} + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3^{3} \sqrt{73} + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 {\sqrt{73}}^{2} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.5

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 重写为 $73$ 。

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解题步骤 15.2.1.12.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.12.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73 + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.5.5

计算指数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73 + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.6

将 $9$ 乘以 $73$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.7

将 ${\sqrt{73}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{73^{3}}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + \sqrt{73^{3}}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.8

对 $73$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + \sqrt{389017}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.9

将 $389017$ 重写为 $73^{2} \cdot 73$ 。

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解题步骤 15.2.1.12.9.1

从 $389017$ 中分解出因数 $5329$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + \sqrt{5329 (73)}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.9.2

将 $5329$ 重写为 $73^{2}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + \sqrt{73^{2} \cdot 73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12.10

从根式下提出各项。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + 73 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.13

将 $27$ 和 $657$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{684 + 27 \sqrt{73} + 73 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.14

将 $27 \sqrt{73}$ 和 $73 \sqrt{73}$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{684 + 100 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15

约去 $684 + 100 \sqrt{73}$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.1

从 $684$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171) + 100 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.2

从 $100 \sqrt{73}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171) + 4 (25 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.3

从 $4 (171) + 4 (25 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 + 25 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.4.1

从 $512$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 + 25 \sqrt{73})}{4 \cdot 128} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 + 25 \sqrt{73})}{4 \cdot 128} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.16

对 $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{8^{2}})$

解题步骤 15.2.1.17

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{64})$

解题步骤 15.2.1.18

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{2 (32)})$

解题步骤 15.2.1.18.2

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{2 \cdot 32})$

解题步骤 15.2.1.18.3

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{32}$

解题步骤 15.2.1.19

将 ${(3 + \sqrt{73})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 15.2.1.20

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})$ 。

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解题步骤 15.2.1.20.1

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) + \sqrt{73} (3 + \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 15.2.1.20.2

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} (3 + \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 15.2.1.20.3

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \cdot 3 + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 15.2.1.21

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.21.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.21.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \cdot 3 + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 15.2.1.21.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{73}$ 的左侧。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \cdot \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 15.2.1.21.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73 \cdot 73}}{32}$

解题步骤 15.2.1.21.1.4

将 $73$ 乘以 $73$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{5329}}{32}$

解题步骤 15.2.1.21.1.5

将 $5329$ 重写为 $73^{2}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73^{2}}}{32}$

解题步骤 15.2.1.21.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + 73}{32}$

解题步骤 15.2.1.21.2

将 $9$ 和 $73$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{82 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 15.2.1.21.3

将 $3 \sqrt{73}$ 和 $3 \sqrt{73}$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{82 + 6 \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 15.2.1.22

约去 $82 + 6 \sqrt{73}$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.22.1

从 $82$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41) + 6 \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 15.2.1.22.2

从 $6 \sqrt{73}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41) + 2 (3 \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 15.2.1.22.3

从 $2 (41) + 2 (3 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 + 3 \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 15.2.1.22.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.22.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 + 3 \sqrt{73})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 15.2.1.22.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 + 3 \sqrt{73})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 15.2.1.22.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} \cdot \frac{4}{4} + \frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$ 乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16} \cdot \frac{32}{32}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$ 乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

解题步骤 15.2.2.5

重新排序 $128 \cdot 4$ 的因式。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $4$ 乘以 $128$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{512} + \frac{(41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $16$ 乘以 $32$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{512} + \frac{(41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- (1169 + 123 \sqrt{73}) + (171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1169 - (123 \sqrt{73}) + (171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1169$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - (123 \sqrt{73}) + (171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $123$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + (171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4.4

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 171 \cdot 4 + 25 \sqrt{73} \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4.5

将 $171$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 25 \sqrt{73} \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4.6

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 100 \sqrt{73} + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4.7

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 100 \sqrt{73} + 41 \cdot 32 + 3 \sqrt{73} \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4.8

将 $41$ 乘以 $32$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 100 \sqrt{73} + 1312 + 3 \sqrt{73} \cdot 32}{512}$

解题步骤 15.2.4.9

将 $32$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 100 \sqrt{73} + 1312 + 96 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 15.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 1169$ 和 $684$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 485 - 123 \sqrt{73} + 100 \sqrt{73} + 1312 + 96 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $- 485$ 和 $1312$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 - 123 \sqrt{73} + 100 \sqrt{73} + 96 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $- 123 \sqrt{73}$ 和 $100 \sqrt{73}$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 - 23 \sqrt{73} + 96 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 15.2.5.4

将 $- 23 \sqrt{73}$ 和 $96 \sqrt{73}$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 + 73 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $\frac{827 + 73 \sqrt{73}}{512}$ 。

$y = \frac{827 + 73 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 16

计算在 $x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 运用乘积法则。

$- 12 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{8^{2}} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{64} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.3.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 3) \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{64} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.3.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot - 3 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.3.3

约去公因数。

$4 \cdot - 3 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.3.4

重写表达式。

$- 3 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{- 3 {(3 - \sqrt{73})}^{2}}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.5

将 ${(3 - \sqrt{73})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})$ 。

$\frac{- 3 ((3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})$ 。

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解题步骤 17.1.6.1

运用分配律。

$\frac{- 3 (3 (3 - \sqrt{73}) - \sqrt{73} (3 - \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.6.2

运用分配律。

$\frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} (3 - \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.6.3

运用分配律。

$\frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.7.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 (9 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} - \sqrt{73} (- \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.4

乘以 $- \sqrt{73} (- \sqrt{73})$ 。

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解题步骤 17.1.7.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 1 \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.4.2

将 $\sqrt{73}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.4.3

对 $\sqrt{73}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.4.4

对 $\sqrt{73}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{1 + 1})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{2})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.5

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 重写为 $73$ 。

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解题步骤 17.1.7.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {(73^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{2}})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.7.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{2}})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{1})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.1.5.5

计算指数。

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73)}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.2

将 $9$ 和 $73$ 相加。

$\frac{- 3 (82 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.7.3

从 $- 3 \sqrt{73}$ 中减去 $3 \sqrt{73}$ 。

$\frac{- 3 (82 - 6 \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.8

约去 $82 - 6 \sqrt{73}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.8.1

从 $- 3 (82 - 6 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 (41 - 3 \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 17.1.8.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 (41 - 3 \sqrt{73}))}{2 (8)} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 3 (41 - 3 \sqrt{73}))}{2 \cdot 8} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

解题步骤 17.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.10.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 2 (3) \frac{3 - \sqrt{73}}{8} + 4$

解题步骤 17.1.10.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{3 - \sqrt{73}}{2 \cdot 4} + 4$

解题步骤 17.1.10.3

约去公因数。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{3 - \sqrt{73}}{2 \cdot 4} + 4$

解题步骤 17.1.10.4

重写表达式。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 3 \frac{3 - \sqrt{73}}{4} + 4$

解题步骤 17.1.11

组合 $3$ 和 $\frac{3 - \sqrt{73}}{4}$ 。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73})}{4} + 4$

解题步骤 17.2

求公分母。

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解题步骤 17.2.1

将 $\frac{3 (3 - \sqrt{73})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73})}{4} \cdot \frac{2}{2} + 4$

解题步骤 17.2.2

将 $\frac{3 (3 - \sqrt{73})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 4$

解题步骤 17.2.3

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

解题步骤 17.2.4

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 17.2.5

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 (41 - 3 \sqrt{73}) + 3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4

化简每一项。

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解题步骤 17.4.1

运用分配律。

$\frac{- 3 \cdot 41 - 3 (- 3 \sqrt{73}) + 3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.2

将 $- 3$ 乘以 $41$ 。

$\frac{- 123 - 3 (- 3 \sqrt{73}) + 3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.4

运用分配律。

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73})) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + (9 + 3 (- \sqrt{73})) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + (9 - 3 \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.7

运用分配律。

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 9 \cdot 2 - 3 \sqrt{73} \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.8

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 18 - 3 \sqrt{73} \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.9

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 18 - 6 \sqrt{73} + 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.10

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 18 - 6 \sqrt{73} + 32}{8}$

解题步骤 17.5

化简项。

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解题步骤 17.5.1

将 $- 123$ 和 $18$ 相加。

$\frac{- 105 + 9 \sqrt{73} - 6 \sqrt{73} + 32}{8}$

解题步骤 17.5.2

将 $- 105$ 和 $32$ 相加。

$\frac{- 73 + 9 \sqrt{73} - 6 \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 17.5.3

从 $9 \sqrt{73}$ 中减去 $6 \sqrt{73}$ 。

$\frac{- 73 + 3 \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 17.5.4

将 $- 73$ 重写为 $- 1 (73)$ 。

$\frac{- 1 (73) + 3 \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 17.5.5

从 $3 \sqrt{73}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (73) - (- 3 \sqrt{73})}{8}$

解题步骤 17.5.6

从 $- 1 (73) - (- 3 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (73 - 3 \sqrt{73})}{8}$

解题步骤 17.5.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{73 - 3 \sqrt{73}}{8}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{4} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{4}}{8^{4}} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.2

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{73})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.4.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{73})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 4 \cdot (27 (- \sqrt{73})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 (- \sqrt{73}) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 6 \cdot (9 {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.6

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 {(- \sqrt{73})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.7

对 $- \sqrt{73}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 (1 {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.9

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 {\sqrt{73}}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.10

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 重写为 $73$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.10.4.1

约去公因数。

解题步骤 19.2.1.4.10.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.10.5

计算指数。

解题步骤 19.2.1.4.11

将 $54$ 乘以 $73$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.12

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 {(- \sqrt{73})}^{3} + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.13

对 $- \sqrt{73}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{73}}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- {\sqrt{73}}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.15

将 ${\sqrt{73}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{73^{3}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- \sqrt{73^{3}}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.16

对 $73$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- \sqrt{389017}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.17

将 $389017$ 重写为 $73^{2} \cdot 73$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.17.1

从 $389017$ 中分解出因数 $5329$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- \sqrt{5329 (73)}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.17.2

将 $5329$ 重写为 $73^{2}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- \sqrt{73^{2} \cdot 73}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.18

从根式下提出各项。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- (73 \sqrt{73})) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.19

将 $73$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- 73 \sqrt{73}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.20

将 $- 73$ 乘以 $12$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.21

对 $- \sqrt{73}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 1 {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.23

将 ${\sqrt{73}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.24

将 ${\sqrt{73}}^{4}$ 重写为 $73^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + {(73^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{4}{2}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{1}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{2}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4.25

对 $73$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 5329}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.5

将 $81$ 和 $3942$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{4023 - 108 \sqrt{73} - 876 \sqrt{73} + 5329}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6

将 $4023$ 和 $5329$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{9352 - 108 \sqrt{73} - 876 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.7

从 $- 108 \sqrt{73}$ 中减去 $876 \sqrt{73}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{9352 - 984 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.8

约去 $9352 - 984 \sqrt{73}$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.8.1

从 $9352$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169) - 984 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.8.2

从 $- 984 \sqrt{73}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169) + 8 (- 123 \sqrt{73})}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.8.3

从 $8 (1169) + 8 (- 123 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 - 123 \sqrt{73})}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.8.4.1

从 $4096$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 - 123 \sqrt{73})}{8 \cdot 512} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.8.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 - 123 \sqrt{73})}{8 \cdot 512} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.8.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.9

对 $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{3}}{8^{3}} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.10

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.11

使用二项式定理。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{73})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.12.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{73})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.12.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.12.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 19.2.1.12.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3^{3} (- \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 (- \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.4

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 {(- \sqrt{73})}^{2} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.6

对 $- \sqrt{73}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 (1 {\sqrt{73}}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.8

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 {\sqrt{73}}^{2} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.9

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 重写为 $73$ 。

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解题步骤 19.2.1.12.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.12.9.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.9.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73 + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.9.5

计算指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73 + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.10

将 $9$ 乘以 $73$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.11

对 $- \sqrt{73}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.13

将 ${\sqrt{73}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{73^{3}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - \sqrt{73^{3}}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.14

对 $73$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - \sqrt{389017}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.15

将 $389017$ 重写为 $73^{2} \cdot 73$ 。

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解题步骤 19.2.1.12.15.1

从 $389017$ 中分解出因数 $5329$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - \sqrt{5329 (73)}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.15.2

将 $5329$ 重写为 $73^{2}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - \sqrt{73^{2} \cdot 73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.16

从根式下提出各项。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - (73 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12.17

将 $73$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - 73 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.13

将 $27$ 和 $657$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{684 - 27 \sqrt{73} - 73 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.14

从 $- 27 \sqrt{73}$ 中减去 $73 \sqrt{73}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{684 - 100 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15

约去 $684 - 100 \sqrt{73}$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.1

从 $684$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171) - 100 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.2

从 $- 100 \sqrt{73}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171) + 4 (- 25 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.3

从 $4 (171) + 4 (- 25 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 - 25 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.4.1

从 $512$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 - 25 \sqrt{73})}{4 \cdot 128} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 - 25 \sqrt{73})}{4 \cdot 128} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.16

对 $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{8^{2}})$

解题步骤 19.2.1.17

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{64})$

解题步骤 19.2.1.18

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.18.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{2 (32)})$

解题步骤 19.2.1.18.2

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{2 \cdot 32})$

解题步骤 19.2.1.18.3

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{32}$

解题步骤 19.2.1.19

将 ${(3 - \sqrt{73})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.20

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})$ 。

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解题步骤 19.2.1.20.1

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) - \sqrt{73} (3 - \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.20.2

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} (3 - \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.20.3

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.21

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.1.21.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.21.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} - \sqrt{73} (- \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.4

乘以 $- \sqrt{73} (- \sqrt{73})$ 。

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解题步骤 19.2.1.21.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 1 \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.4.2

将 $\sqrt{73}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.4.3

对 $\sqrt{73}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.4.4

对 $\sqrt{73}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{1 + 1}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{2}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.5

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 重写为 $73$ 。

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解题步骤 19.2.1.21.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{2}}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.21.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{2}}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.2

将 $9$ 和 $73$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{82 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 19.2.1.21.3

从 $- 3 \sqrt{73}$ 中减去 $3 \sqrt{73}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{82 - 6 \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 19.2.1.22

约去 $82 - 6 \sqrt{73}$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.22.1

从 $82$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41) - 6 \sqrt{73}}{32}$

解题步骤 19.2.1.22.2

从 $- 6 \sqrt{73}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41) + 2 (- 3 \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.22.3

从 $2 (41) + 2 (- 3 \sqrt{73})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 - 3 \sqrt{73})}{32}$

解题步骤 19.2.1.22.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.22.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 - 3 \sqrt{73})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 19.2.1.22.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 - 3 \sqrt{73})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 19.2.1.22.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$

解题步骤 19.2.2

求公分母。

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解题步骤 19.2.2.1

将 $\frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} \cdot \frac{4}{4} + \frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$

解题步骤 19.2.2.3

将 $\frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$ 乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16} \cdot \frac{32}{32}$

解题步骤 19.2.2.4

将 $\frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$ 乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

解题步骤 19.2.2.5

重新排序 $128 \cdot 4$ 的因式。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

解题步骤 19.2.2.6

将 $4$ 乘以 $128$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{512} + \frac{(41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

解题步骤 19.2.2.7

将 $16$ 乘以 $32$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{512} + \frac{(41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- (1169 - 123 \sqrt{73}) + (171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1169 - (- 123 \sqrt{73}) + (171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1169$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - (- 123 \sqrt{73}) + (171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4.3

将 $- 123$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + (171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4.4

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 171 \cdot 4 - 25 \sqrt{73} \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4.5

将 $171$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 25 \sqrt{73} \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4.6

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 100 \sqrt{73} + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4.7

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 100 \sqrt{73} + 41 \cdot 32 - 3 \sqrt{73} \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4.8

将 $41$ 乘以 $32$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 100 \sqrt{73} + 1312 - 3 \sqrt{73} \cdot 32}{512}$

解题步骤 19.2.4.9

将 $32$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 100 \sqrt{73} + 1312 - 96 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 19.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 19.2.5.1

将 $- 1169$ 和 $684$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 485 + 123 \sqrt{73} - 100 \sqrt{73} + 1312 - 96 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 19.2.5.2

将 $- 485$ 和 $1312$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 + 123 \sqrt{73} - 100 \sqrt{73} - 96 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 19.2.5.3

从 $123 \sqrt{73}$ 中减去 $100 \sqrt{73}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 + 23 \sqrt{73} - 96 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 19.2.5.4

从 $23 \sqrt{73}$ 中减去 $96 \sqrt{73}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 - 73 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $\frac{827 - 73 \sqrt{73}}{512}$ 。

$y = \frac{827 - 73 \sqrt{73}}{512}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = - x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最小值

$(\frac{3 + \sqrt{73}}{8}, \frac{827 + 73 \sqrt{73}}{512})$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 - \sqrt{73}}{8}, \frac{827 - 73 \sqrt{73}}{512})$ 是一个局部最大值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例