微积分学示例

$y^{x y}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $y^{x y}$ 重写为 $e^{\ln (y^{x y})}$ 。

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $x y$ 移到对数外来展开 $\ln (y^{x y})$ 。

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = x y \ln (y)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y \ln (y)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

解题步骤 2.3

使用 $x y \ln (y)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

解题步骤 3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y \ln (y)$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ 。

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = \ln (y)$ 。

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 5

$\ln (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\frac{1}{y}$ 。

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

组合 $y$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 6.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

解题步骤 6.4

将 $\ln (y)$ 乘以 $1$ 。

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

解题步骤 7.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$

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