微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.3

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

使用极限幂法则把 ${(2 x)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(2 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{{(2 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - \cos^{2} (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos^{2} (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.2.3

使用 $\cos (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- 2 \sin (2 x)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.8

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 4 \cos (2 x) \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4.9

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.5

将 $0$ 和 $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.6

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [2^{2} x^{2}]}$

解题步骤 1.3.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 (2 x)}$

解题步骤 1.3.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{8 x}$

解题步骤 1.4

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{8 x}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{2 x}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.7.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7.3

将 $\sin (2 \cdot 0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.7.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (2 x)$ 且 $g (x) = \sin (2 x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.11

将 $2$ 移到 $\cos^{2} (2 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.12.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.12.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.12.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.13

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.14

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.17

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.18

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.20

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{1}$

解题步骤 3.4

用 $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

解题步骤 4.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

解题步骤 4.3

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} (2 {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

解题步骤 4.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

解题步骤 4.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

解题步骤 4.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sin^{2} (2 x))$

解题步骤 4.7

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sin (2 x))}^{2})$

解题步骤 4.8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

解题步骤 4.9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1^{2} - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

解题步骤 6.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (0))$

解题步骤 6.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0^{2})$

解题步骤 6.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 6.1.8

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 + 0)$

解题步骤 6.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$1$

微积分学 示例

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