微积分学示例

$lim_{x \to - 4} 4 (x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \tan (π x)$

解题步骤 1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to - 4} (x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \tan (π x)$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$4 lim_{x \to - 4} x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16 \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 (lim_{x \to - 4} x^{3} - lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

解题步骤 5

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

解题步骤 7

因为项 $20$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

解题步骤 8

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

解题步骤 9

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (lim_{x \to - 4} π x)$

解题步骤 10

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

解题步骤 11

将 $- 4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

解题步骤 11.2

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

解题步骤 11.3

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

解题步骤 11.4

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- 64 - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (- 64 - 8 \cdot 16 + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.1.3

将 $- 8$ 乘以 $16$ 。

$4 (- 64 - 128 + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.1.4

将 $20$ 乘以 $- 4$ 。

$4 (- 64 - 128 - 80 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.1.5

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$4 (- 64 - 128 - 80 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.2

从 $- 64$ 中减去 $128$ 。

$4 (- 192 - 80 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.3

从 $- 192$ 中减去 $80$ 。

$4 (- 272 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.4

从 $- 272$ 中减去 $16$ 。

$4 \cdot - 288 \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.5

将 $4$ 乘以 $- 288$ 。

$- 1152 \cdot \tan (π \cdot - 4)$

解题步骤 12.6

将 $- 4$ 移到 $π$ 的左侧。

$- 1152 \cdot \tan (- 4 \cdot π)$

解题步骤 12.7

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 1152 \cdot \tan (0)$

解题步骤 12.8

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 1152 \cdot 0$

解题步骤 12.9

将 $- 1152$ 乘以 $0$ 。

$0$

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