微积分学示例

$\int_{1}^{2} (\frac{x}{2} - \frac{2}{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 8

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

代入并化简。

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解题步骤 9.1.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

解题步骤 9.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3

化简。

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解题步骤 9.1.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.6

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.7

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.9

化简分子。

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解题步骤 9.1.3.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.9.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3.12

要将 $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 9.1.3.13

组合 $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

解题步骤 9.1.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

解题步骤 9.1.3.15

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 - 8 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

解题步骤 9.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 9.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{1})}{4}$

解题步骤 9.3.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

小数形式：

$- 0.63629436 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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