微积分学示例

$\int_{0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 2$

解题步骤 1.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = - 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 - 2$

解题步骤 1.5

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{- 2}^{2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{- 2}^{2} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{- 2}^{2} u^{- 2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1}]_{- 2}^{2}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.4

从 $- \frac{1}{2}$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 2}{2}$

解题步骤 4.2.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 4.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 4.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 4.2.6.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5

微积分学 示例

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