微积分学示例

$\ln (\sqrt{1 + x^{2}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 12

通过指数相加将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.1

移动 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 12.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 13

化简 $2 {(1 + x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 14

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 15

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 16

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (2 x)$

解题步骤 18

化简项。

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解题步骤 18.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$ 。

$\frac{2}{2 (1 + x^{2})} x$

解题步骤 18.2

组合 $\frac{2}{2 (1 + x^{2})}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

解题步骤 18.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

解题步骤 18.3.2

重写表达式。

$\frac{x}{1 + x^{2}}$

解题步骤 18.4

重新排序项。

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

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