微积分学示例

$lim_{x \to a} {(2 x - 1)}^{5}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

使用极限幂法则把 ${(2 x - 1)}^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

${(lim_{x \to a} 2 x - 1)}^{5}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $a$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

${(lim_{x \to a} 2 x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

解题步骤 1.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(2 lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

解题步骤 1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $a$ 时此极限值为常数。

${(2 lim_{x \to a} x - 1 \cdot 1)}^{5}$

解题步骤 2

将 $a$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(2 a - 1 \cdot 1)}^{5}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(2 a - 1)}^{5}$

解题步骤 3.2

使用二项式定理。

${(2 a)}^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

对 $2 a$ 运用乘积法则。

$2^{5} a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$32 a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.3

对 $2 a$ 运用乘积法则。

$32 a^{5} + 5 (2^{4} a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$32 a^{5} + 5 (16 a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.5

将 $16$ 乘以 $5$ 。

$32 a^{5} + 80 a^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $80$ 。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.7

对 $2 a$ 运用乘积法则。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (2^{3} a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (8 a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.9

将 $8$ 乘以 $10$ 。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.10

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} \cdot 1 + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.11

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.12

对 $2 a$ 运用乘积法则。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (2^{2} a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (4 a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.14

将 $4$ 乘以 $10$ 。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.15

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} \cdot - 1 + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.16

将 $- 1$ 乘以 $40$ 。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.17

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.18

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a \cdot 1 + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.19

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a + {(- 1)}^{5}$

解题步骤 3.3.20

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a - 1$

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