微积分学示例

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2.2

将极限移入对数中。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} - 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2.3

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 \ln (- lim_{x \to - 3} 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2.5

化简项。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2.5.2

化简答案。

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解题步骤 1.2.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 \ln (- 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2.5.2.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2.5.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.2.5.2.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 1.3.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 1.3.1.3

将极限移入指数中。

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 1.3.1.4

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 1.3.1.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 1.3.1.6

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 1.3.1.7

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot - 3 + 6} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{0}{3 e^{- 6 + 6} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{3 e^{0} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.3.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{3 - 3}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (- 2 - x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = - 2 - x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 - x$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.3.3

使用 $- 2 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{- 2 - x}$ 和 $4$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $- 2 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{4}{- 2 - x}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot - 1}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.12

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{- 4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.13

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.14

化简。

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解题步骤 3.14.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.14.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - (x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.14.3

从 $- 1 (2) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2 + x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.14.4

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - 3} \frac{- - \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.14.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{1 \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.14.6

将 $\frac{4}{2 + x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

解题步骤 3.15

根据加法法则， $3 e^{2 x + 6} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}]$ 。

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解题步骤 3.16.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{2 x + 6}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x + 6$ 。

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解题步骤 3.16.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 6$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.2.3

使用 $2 x + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.3

根据加法法则， $2 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.6

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.9

将 $2$ 移到 $e^{2 x + 6}$ 的左侧。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (2 e^{2 x + 6}) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.17

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + 0}$

解题步骤 3.18

将 $6 e^{2 x + 6}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{2 + x} \cdot \frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{4}{2 + x}$ 乘以 $\frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

解题步骤 5.2

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $(2 + x) (6 e^{2 x + 6})$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 2}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 + x) (3 e^{2 x + 6})}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 + x) (e^{2 x + 6})}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} 2 + x \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 3} 2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

解题步骤 11

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

解题步骤 12

将极限移入指数中。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}}$

解题步骤 13

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}}$

解题步骤 14

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}}$

解题步骤 15

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

解题步骤 16

将 $- 3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 16.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

解题步骤 16.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

解题步骤 17

化简答案。

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解题步骤 17.1

合并。

$\frac{2 \cdot 1}{3 ((2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6})}$

解题步骤 17.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3 (2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

解题步骤 17.3

化简分母。

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解题步骤 17.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2}{3 (2 - 3) e^{- 6 + 6}}$

解题步骤 17.3.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3 \cdot - 1 e^{- 6 + 6}}$

解题步骤 17.3.3

合并指数。

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解题步骤 17.3.3.1

提取负因数。

$\frac{2}{- (3 e^{- 6 + 6})}$

解题步骤 17.3.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{- 3 e^{- 6 + 6}}$

解题步骤 17.3.4

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{2}{- 3 e^{0}}$

解题步骤 17.3.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2}{- 3 \cdot 1}$

解题步骤 17.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{- 3}$

解题步骤 17.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3}$

微积分学 示例

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