微积分学示例

$y = {(x^{3} + 2 x + 1)}^{5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x + 1)}^{5})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{3} + 2 x + 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 2 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{3} + 2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{3} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + 0)$

解题步骤 3.2.7

将 $3 x^{2} + 2$ 和 $0$ 相加。

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

微积分学 示例

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