微积分学示例

$\int \frac{2 x^{3} + x^{2} - 21 x + 24}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

使用多项式长除法进行相除。

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解题步骤 1.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

解题步骤 1.1.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

解题步骤 1.1.3

将新的商式项乘以除数。

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 1.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x$ 中的所有符号

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 1.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

解题步骤 1.1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

解题步骤 1.1.7

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$

解题步骤 1.1.8

将新的商式项乘以除数。

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$
							-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$24$

解题步骤 1.1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{2} - 6 x + 24$ 中的所有符号

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

解题步骤 1.1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

$x$

$0$

解题步骤 1.1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$2 x - 3 + \frac{x}{x^{2} + 2 x - 8}$

解题步骤 1.2

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $2$ 。

$- 2, 4$

解题步骤 1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x}{(x - 2) (x + 4)}$

解题步骤 1.2.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 2}$

解题步骤 1.2.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$

解题步骤 1.2.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 2) (x + 4)$ 。

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.5

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.5.2

重写表达式。

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.6

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

约去公因数。

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.6.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.7

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.1.1

约去公因数。

$x = \frac{A (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.7.1.2

用 $(A) (x + 4)$ 除以 $1$ 。

$x = (A) (x + 4) + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.7.2

运用分配律。

$x = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.7.3

将 $4$ 移到 $A$ 的左侧。

$x = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.7.4

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.4.1

约去公因数。

$x = A x + 4 A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.2.7.4.2

用 $(B) (x - 2)$ 除以 $1$ 。

$x = A x + 4 A + (B) (x - 2)$

解题步骤 1.2.7.5

运用分配律。

$x = A x + 4 A + B x + B \cdot - 2$

解题步骤 1.2.7.6

将 $- 2$ 移到 $B$ 的左侧。

$x = A x + 4 A + B x - 2 B$

解题步骤 1.2.8

移动 $4 A$ 。

$x = A x + B x + 4 A - 2 B$

解题步骤 1.3

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.3.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 1.3.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 4 A - 2 B$

解题步骤 1.3.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

解题步骤 1.4

求解方程组。

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解题步骤 1.4.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$0 = 4 A - 2 B$

解题步骤 1.4.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

解题步骤 1.4.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $0 = 4 A - 2 B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = 4 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简 $4 (1 - B) - 2 B$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

运用分配律。

$0 = 4 \cdot 1 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$0 = 4 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

从 $- 4 B$ 中减去 $2 B$ 。

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3

在 $0 = 4 - 6 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

将方程重写为 $4 - 6 B = 0$ 。

$4 - 6 B = 0$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 6 B = - 4$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3.3

将 $- 6 B = - 4$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 1.4.3.3.1

将 $- 6 B = - 4$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.3.3.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.3.3.1

约去 $- 4$ 和 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.3.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 6}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.3.3.1.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

使用 $\frac{2}{3}$ 替换 $A = 1 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.4.2.1

化简 $1 - (\frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 1.4.4.2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4.4.2.1.2

在公分母上合并分子。

$A = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4.4.2.1.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4.5

列出所有解。

$A = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.5

将 $2 x - 3 + \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$2 x - 3 + \frac{\frac{1}{3}}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将分子乘以分母的倒数。

$2 x - 3 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

解题步骤 1.6.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x - 2}$ 。

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

解题步骤 1.6.3

将分子乘以分母的倒数。

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x + 4}$

解题步骤 1.6.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x + 4}$ 。

$\int 2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 8

使 $u_{1} = x - 2$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{1} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

解题步骤 10

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 4} d x$

解题步骤 11

使 $u_{2} = x + 4$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = x + 4$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

解题步骤 11.1.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 11.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 11.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 13

化简。

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| u_{1} |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 14.2

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$x^{2} - 3 x + \frac{1}{3} \ln (| x - 2 |) + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$

微积分学 示例

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