微积分学示例

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 1 + a t$ 且 $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ 。

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 2}$ 且 $g (t) = c t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $c t$ 。

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

解题步骤 2.3

使用 $c t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $c$ 对于 $t$ 是常数，所以 $c t$ 对 $t$ 的导数是 $c \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

解题步骤 3.3

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $1 + a t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

解题步骤 3.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [a t]$ 相加。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

解题步骤 3.7

因为 $a$ 对于 $t$ 是常数，所以 $a t$ 对 $t$ 的导数是 $a \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

解题步骤 3.9

将 ${(c t)}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $c t$ 运用乘积法则。

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

解题步骤 4.2

对 $c t$ 运用乘积法则。

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

对 $c$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.3

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.5

对 $c$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.7

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.8

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.10

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

解题步骤 4.4.11

将 $a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ 和 $a c^{- 2} t^{- 2}$ 相加。

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解题步骤 4.4.11.1

将 $a$ 和 $- 2$ 重新排序。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

解题步骤 4.4.11.2

将 $- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ 和 $a c^{- 2} t^{- 2}$ 相加。

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

解题步骤 4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

解题步骤 4.5.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{c^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

解题步骤 4.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

解题步骤 4.5.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

解题步骤 4.5.5

将 $\frac{1}{t^{3}}$ 乘以 $\frac{2}{c^{2}}$ 。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

解题步骤 4.5.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

解题步骤 4.5.7

组合 $\frac{1}{c^{2}}$ 和 $a$ 。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

解题步骤 4.5.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

解题步骤 4.5.9

将 $\frac{1}{t^{2}}$ 乘以 $\frac{a}{c^{2}}$ 。

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$

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