微积分学示例

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$4 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - 6 \sqrt{x} d x$

解题步骤 7

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3

约去 $12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.5

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 12}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.6

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.6.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.6.2.2

约去公因数。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.6.2.3

重写表达式。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.6.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$

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