微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.3

将极限移入对数中。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.8

化简答案。

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解题步骤 1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.8.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \ln (1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.8.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.8.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.8.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.8.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.3.5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.3.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.7

化简答案。

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解题步骤 1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.7.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.7.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.7.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.7.1.4

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 \ln (x + 1) + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.7

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.8

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

合并项。

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解题步骤 3.5.1.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.5.1.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 + 2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $4 \sin (x) - 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.8.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 (3 x^{2})}$

解题步骤 3.8.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 6 x^{2}}$

解题步骤 3.9

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1} \cdot \frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

解题步骤 5.2

约去 $2 (x + 1) + 2$ 和 $- 6 x^{2} + 4 \cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2 (1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

解题步骤 5.2.2

从 $2 (x + 1) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

解题步骤 5.2.3

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

解题步骤 5.2.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 1 + 1}{(x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

解题步骤 9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

解题步骤 12

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

解题步骤 13

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

解题步骤 14

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

解题步骤 15

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

解题步骤 16

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} \cos (x))}$

解题步骤 17

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 18

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 18.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 18.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 18.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 18.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

解题步骤 19

化简答案。

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解题步骤 19.1

化简分子。

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解题步骤 19.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

解题步骤 19.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

解题步骤 19.2

化简分母。

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解题步骤 19.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{1 (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

解题步骤 19.2.2

将 $- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)}$

解题步骤 19.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{- 3 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

解题步骤 19.2.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{0 + 2 \cos (0)}$

解题步骤 19.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{0 + 2 \cdot 1}$

解题步骤 19.2.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{0 + 2}$

解题步骤 19.2.7

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{2}$

解题步骤 19.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$1$

微积分学 示例

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