微积分学示例

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{4} x^{2}) (2 x^{2}) (3 - x) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} (x^{2} x^{2}) \cdot 2 (3 - x) d x$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{2 + 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

解题步骤 1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

解题步骤 1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 (2)} \cdot 2 (3 - x) d x$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} (3 - x) d x$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} \cdot 3 + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

解题步骤 1.5

组合 $\frac{x^{4}}{2}$ 和 $3$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

解题步骤 1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

将 $3$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\int_{0}^{3} \frac{3 \cdot x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

解题步骤 1.7.2

乘以 $- \frac{x^{4}}{2} x$ 。

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解题步骤 1.7.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{x^{4}}{2}$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x \cdot x^{4}}{2} d x$

解题步骤 1.7.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.7.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.7.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1} x^{4}}{2} d x$

解题步骤 1.7.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1 + 4}}{2} d x$

解题步骤 1.7.2.2.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{5}}{2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{x^{5}}{2} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} x^{5} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{1}{5} x^{5}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{3}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

解题步骤 8.2

计算 $\frac{1}{6} x^{6}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $243$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.6

将 $\frac{243}{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{243}{5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.7

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{243}{5}$ 。

$\frac{3 \cdot 243}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.8

将 $3$ 乘以 $243$ 。

$\frac{729}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.9

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.10

对 $3$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.11

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $729$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.12

约去 $729$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.12.1

从 $729$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.12.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.12.2.2

约去公因数。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.12.2.3

重写表达式。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

解题步骤 8.3.13

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0)$

解题步骤 8.3.14

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0 (\frac{1}{6}))$

解题步骤 8.3.15

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0)$

解题步骤 8.3.16

将 $\frac{243}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{243}{2}$

解题步骤 8.3.17

将 $\frac{243}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{243}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.18

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{729}{10} - \frac{243}{4}$

解题步骤 8.3.19

要将 $\frac{729}{10}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4}$

解题步骤 8.3.20

要将 $- \frac{243}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 8.3.21

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $20$ 的形式。

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解题步骤 8.3.21.1

将 $\frac{729}{10}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{729 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 8.3.21.2

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 8.3.21.3

将 $\frac{243}{4}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

解题步骤 8.3.21.4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{20}$

解题步骤 8.3.22

在公分母上合并分子。

$\frac{729 \cdot 2 - 243 \cdot 5}{20}$

解题步骤 8.3.23

化简分子。

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解题步骤 8.3.23.1

将 $729$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1458 - 243 \cdot 5}{20}$

解题步骤 8.3.23.2

将 $- 243$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1458 - 1215}{20}$

解题步骤 8.3.23.3

从 $1458$ 中减去 $1215$ 。

$\frac{243}{20}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{243}{20}$

小数形式：

$12.15$

带分数形式：

$12 \frac{3}{20}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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