微积分学示例

$y = t^{2} \ln^{4} (t)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \ln^{4} (t)$ 。

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln^{4} (t)] + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{4}$ 且 $g (t) = \ln (t)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (t)$ 。

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3

$\ln (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{1}{t}$ 。

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{1}{t}) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{t}$ 和 $4$ 。

$t^{2} (\frac{4}{t} \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{4}{t}$ 和 $\ln^{3} (t)$ 。

$t^{2} \frac{4 \ln^{3} (t)}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2.2

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{4 \ln^{3} (t)}{t}$ 。

$\frac{t^{2} (4 \ln^{3} (t))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2.3

约去 $t^{2}$ 和 $t$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $t^{2} (4 \ln^{3} (t))$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t^{1}} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2.3.2.2

从 $t^{1}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2.3.2.3

约去公因数。

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2.3.2.4

重写表达式。

$\frac{t (4 \ln^{3} (t))}{1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2.3.2.5

用 $t (4 \ln^{3} (t))$ 除以 $1$ 。

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) (2 t)$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$4 t \ln^{3} (t) + 2 t \ln^{4} (t)$

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