微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + 2 x^{2}$ 。然后使 $d u = 4 x d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + 2 x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + 2 x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 + 4 x$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $4 x$ 相加。

$4 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + 2 x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + 2 x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

解题步骤 1.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

解题步骤 1.5.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 1 + 8$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

解题步骤 2.2

将 $4$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

解题步骤 6.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

解题步骤 6.2.5

将 $- 1$ 和 $9$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

解题步骤 6.2.6

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{8}{9}$ 。

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.7

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{8}{36}$

解题步骤 6.2.8

约去 $8$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (2)}{36}$

解题步骤 6.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.8.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.8.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.8.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{9}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{9}$

小数形式：

$0.\overline{2}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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