微积分学示例

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

解题步骤 1

从 $4 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

解题步骤 1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

解题步骤 1.3

从 $2 (2 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

解题步骤 3

使 $u = x^{2} + x + 5$ 。然后使 $d u = (2 x + 1) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x^{2} + x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{2} + x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x^{2} + x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.1.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 1 + 0$

解题步骤 3.1.6

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 1$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$2 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 5

化简。

$2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 6

使用 $x^{2} + x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$

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