微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{3} - 5 x^{2} + 1}{x^{4} - 3}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{3}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $7 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{3} x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{3} x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 5 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{- 5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.1.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 + \frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.2.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 - \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 2.5

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 \cdot 0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{4}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 7.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 7.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{1 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{4}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 5 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.3

将 $0 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 + 0}{1 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1 + 0}$

解题步骤 9.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 9.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

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