微积分学示例

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $9$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $9$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.2.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $9$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $9$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $27$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $9$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{27 - \sqrt{lim_{x \to 9} x^{3}}}$

解题步骤 1.1.3.1.4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{27 - \sqrt{{(lim_{x \to 9} x)}^{3}}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $9$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{27 - \sqrt{9^{3}}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{0}{27 - \sqrt{729}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $729$ 重写为 $27^{2}$ 。

$\frac{0}{27 - \sqrt{27^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{27 - 1 \cdot 27}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$\frac{0}{27 - 27}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $27$ 中减去 $27$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $3 - \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.7

化简分子。

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解题步骤 1.3.4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.8

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.4.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $27 - \sqrt{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}$

解题步骤 1.3.8.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

解题步骤 1.3.8.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.8.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.8.7

化简分子。

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解题步骤 1.3.8.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.8.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.3.8.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.9

从 $0$ 中减去 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.5.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.5.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 \sqrt{x}})$

解题步骤 1.6

合并因数。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 9} 1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

解题步骤 1.6.2

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

解题步骤 1.6.3

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{2}{3 \sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{2}{2 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})}$

解题步骤 1.6.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 1.6.5

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

解题步骤 1.6.6

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

解题步骤 1.6.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.6.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 1.7

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.2.1

从 $6 {\sqrt{x}}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

解题步骤 1.7.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 9} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

解题步骤 1.7.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 9} \frac{1}{3 {\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{1}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $9$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $9$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 ${\sqrt{x}}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 9} \sqrt{x})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将极限移入根号内。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}^{2}}$

解题步骤 3

将 $9$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{9}}^{2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

合并。

$\frac{1 \cdot 1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{3 {\sqrt{3^{2}}}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$

解题步骤 4.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{3 \cdot 9}$

解题步骤 4.4

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{27}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{27}$

小数形式：

$0.\overline{037}$

微积分学 示例

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