微积分学示例

$y = (3 x - 1) (2 x + 5)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((3 x - 1) (2 x + 5))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x - 1$ 且 $g (x) = 2 x + 5$ 。

$(3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 3.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(3 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 3.2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x - 1) (2 + 0) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$(3 x - 1) \cdot 2 + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 3.2.6.2

将 $2$ 移到 $3 x - 1$ 的左侧。

$2 \cdot (3 x - 1) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 + 0)$

解题步骤 3.2.12

化简表达式。

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解题步骤 3.2.12.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) \cdot 3$

解题步骤 3.2.12.2

将 $3$ 移到 $2 x + 5$ 的左侧。

$2 (3 x - 1) + 3 \cdot (2 x + 5)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x + 5)$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

解题步骤 3.3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

解题步骤 3.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x - 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

解题步骤 3.3.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x - 2 + 6 x + 3 \cdot 5$

解题步骤 3.3.3.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$6 x - 2 + 6 x + 15$

解题步骤 3.3.3.5

将 $6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$12 x - 2 + 15$

解题步骤 3.3.3.6

将 $- 2$ 和 $15$ 相加。

$12 x + 13$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 12 x + 13$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 12 x + 13$

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