微积分学示例

$y = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + \frac{π}{4}$ 。

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

解题步骤 1.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x + \frac{π}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 (- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$4 (\sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x + \frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ 。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

解题步骤 1.3.4

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

解题步骤 1.3.5.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x + \frac{π}{4})$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (x + \frac{π}{4}))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + \frac{π}{4}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $x + \frac{π}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 4 (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x + \frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ 。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

解题步骤 2.3.3

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

解题步骤 2.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

解题步骤 2.3.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

解题步骤 4

将 $4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\sin (x + \frac{π}{4})$ 除以 $1$ 。

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x + \frac{π}{4} = 0$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 8

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x + \frac{π}{4} = π$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 9.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 9.2.3

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 9.2.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 9.2.5

化简分子。

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解题步骤 9.2.5.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 9.2.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 10

方程 $x + \frac{π}{4} = 0$ 的解。

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

解题步骤 11

计算在 $x = - \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

在公分母上合并分子。

$4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

解题步骤 12.2

将 $- π$ 和 $π$ 相加。

$4 \cos (\frac{0}{4})$

解题步骤 12.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$4 \cos (0)$

解题步骤 12.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 12.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 14

求 $x = - \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

解题步骤 14.2.2

将 $- π$ 和 $π$ 相加。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{0}{4})$

解题步骤 14.2.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (0)$

解题步骤 14.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cdot 1$

解题步骤 14.2.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4$

解题步骤 14.2.6

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 15

计算在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 16

计算二阶导数。

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解题步骤 16.1

在公分母上合并分子。

$4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

解题步骤 16.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

解题步骤 16.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 16.3.1

约去公因数。

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

解题步骤 16.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$4 \cos (π)$

解题步骤 16.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$4 (- \cos (0))$

解题步骤 16.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 16.6

乘以 $4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 16.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \cdot - 1$

解题步骤 16.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4$

解题步骤 17

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 18

求 $x = \frac{3 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 18.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 18.2

化简结果。

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解题步骤 18.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

解题步骤 18.2.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

解题步骤 18.2.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.3.1

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

解题步骤 18.2.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (π)$

解题步骤 18.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- \cos (0))$

解题步骤 18.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 18.2.6

乘以 $- 4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 18.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cdot - 1$

解题步骤 18.2.6.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

解题步骤 18.2.7

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 19

这些是 $f (x) = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ 的局部极值。

$(- \frac{π}{4}, - 4)$ 是一个局部最小值

$(\frac{3 π}{4}, 4)$ 是一个局部最大值

解题步骤 20

微积分学 示例

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