微积分学示例

$2^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- x^{- 2})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $2^{\frac{1}{x}}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\ln (2) (- \frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}})$

解题步骤 3.2.2

组合 $\ln (2)$ 和 $\frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 。

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2^{\frac{1}{x}} \ln (2)}{x^{2}}$

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